 碩士研究生入學(xué)考試《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

Ⅰ 考試形式和試卷結(jié)構(gòu)

一、試卷滿分及考試時(shí)間

本試卷滿分為150分，考試時(shí)間為3小時(shí)。

二、答題方式

答題方式為閉卷、筆試。

三、試卷題型結(jié)構(gòu)

1、填空題　 40 分

2、計(jì)算題 40 分

3、證明題 70分

II　考試范圍

第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1.運(yùn)用實(shí)數(shù)的有序性、稠密性及封閉性論證有關(guān)問題，鄰域概念的理解及應(yīng)用;

2.實(shí)數(shù)絕對(duì)值的有關(guān)性質(zhì)及幾個(gè)常見不等式的應(yīng)用;

3.實(shí)數(shù)集確界的概念及確界原理在有關(guān)問題中的正確運(yùn)用;

4.函數(shù)的概念及復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、有界函數(shù)、單調(diào)函數(shù)和初等函數(shù)等概念理解和運(yùn)用;

5.基本初等函數(shù)定義、性質(zhì)及圖象的識(shí)記，會(huì)求初等函數(shù)定義域，分析初等函數(shù)的復(fù)合關(guān)系。

第二章 數(shù)列極限

1.會(huì)用ε—N定義證明數(shù)列極限有關(guān)問題，并會(huì)用ε—N語言正確表述數(shù)列不以某數(shù)為極限;

2.理解收斂數(shù)列的性質(zhì)，極限的唯一性、保號(hào)性及不等式性質(zhì);

3.會(huì)用極限的四則運(yùn)算法則，迫斂性定理以及單調(diào)有界定理求收斂數(shù)列的極限;

4.理解柯西準(zhǔn)則在極限理論中的重要意義，能用該準(zhǔn)則判定某些簡(jiǎn)單數(shù)列的斂散性。

第三章 函數(shù)極限

1.能運(yùn)用函數(shù)極限定義證明與函數(shù)極限有關(guān)的某些命題，會(huì)給出函數(shù)不以某定數(shù)為極限的相應(yīng)表述;

2.掌握函數(shù)極限基本性質(zhì)：唯一性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)及有理運(yùn)算性質(zhì);

3.理解Heine定理及Cauchy準(zhǔn)則，初步掌握運(yùn)用它們證明函數(shù)極限存在的基本思路;

4.識(shí)記兩個(gè)重要極限，能靈活運(yùn)用其求一些相關(guān)函數(shù)極限;

5.理解無窮小(大)量及其階的概念，會(huì)用無窮小量求某些函數(shù)的極限,無窮小(大)量階的比較。

第四章 函數(shù)的連續(xù)性

1.明確函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)定義的幾種等價(jià)敘述;

2.會(huì)熟練準(zhǔn)確地求出一般初等函數(shù)或分段函數(shù)的間斷點(diǎn)并判別其類型;

3.理解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并能在相關(guān)問題的討論中正確運(yùn)用這些重要性質(zhì);

4.深刻理解初等函數(shù)的連續(xù)性，應(yīng)用連續(xù)性求極限;

5.掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，理解其幾何意義，并能在各種有關(guān)具體問題中加以運(yùn)用;

6.理解一致連續(xù)的概念，能認(rèn)識(shí)到函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)與一致連續(xù)兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。

第五章 導(dǎo)數(shù)與微分

1.利用定義法求函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別，可導(dǎo)的充要條件，可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，求曲線上一點(diǎn)處的切線方程，用導(dǎo)數(shù)概念解決相關(guān)變化率的實(shí)際應(yīng)用問題;

2.熟記各類基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，綜合運(yùn)用求導(dǎo)的法則和方法熟練計(jì)算初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù);

3.理解函數(shù)微分的概念，用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的微分，運(yùn)用基本公式和微分法則求初等函數(shù)的微分;

4.導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系，增量與微分的關(guān)系，用微分作近似計(jì)算;

5.理解高階導(dǎo)數(shù)與高階微分概念，明確二者的聯(lián)系，會(huì)求高階導(dǎo)數(shù)與高階微分，理解一階微分形式的不變性并用其求復(fù)合函數(shù)的微分。

第六章 微分中值定理及應(yīng)用

1.利用中值定理證明有關(guān)函數(shù)微分學(xué)的命題;

2.用洛比塔法則求不定式的極限;

3.討論函數(shù)及曲線性態(tài)，用導(dǎo)數(shù)作函數(shù)圖象;

4.求解有關(guān)最大(小)值的應(yīng)用問題;

5.用中值定理及單調(diào)性證明不等式，方程根的存在個(gè)數(shù)及分布討論。

第七章 實(shí)數(shù)的完備性

1.區(qū)間套、聚點(diǎn)、確界、覆蓋、子列及一致連續(xù)等概念的理解;求點(diǎn)集的聚點(diǎn)、確界;

2.對(duì)實(shí)數(shù)基本定理的理解和準(zhǔn)確表述，明確其等價(jià)性;

3.應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)討論函數(shù)的有界性、最值性、證明方程根的存在性;

4.函數(shù)一致連續(xù)性的判別及有關(guān)問題的證明。

第八章 不定積分

1.原函數(shù)與不定積分的關(guān)系及其幾何意義;積分與微分的關(guān)系;

2.熟記基本積分公式，用線性運(yùn)算法則求不定積分;

3.用換元積分法和分部積分法或綜合運(yùn)用這幾種方法求不定積分;

4.有理函數(shù)的積分法，用適當(dāng)變換求三角函數(shù)有理式、簡(jiǎn)單無理函數(shù)的積分;

5.明確初等函數(shù)在定義區(qū)間存在原函數(shù)，但其原函數(shù)不一定是初等函數(shù)的結(jié)論。

第九章 定積分

1.理解并掌握定積分的思想(分割、近似求和、取極限)的基礎(chǔ)上會(huì)用定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分;

2.明確可積的必要條件、充要條件及可積函數(shù)類;

3.熟練地應(yīng)用定積分的性質(zhì)進(jìn)行積分的計(jì)算，積分值的大小比較、求平均值及有關(guān)證明;

4.用微積分學(xué)基本定理及牛頓——萊布尼茲公式進(jìn)行有關(guān)積分的證明和計(jì)算;變限積分的求導(dǎo)法則及應(yīng)用;

5.用換元積分法和分布積分法計(jì)算定積分。

第十章 定積分的應(yīng)用

1.用定積分解決某些幾何應(yīng)用問題：平面圖形面積、平面曲線的弧長(zhǎng)、一些特殊立體的體積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積等的計(jì)算;

2.用微元法的思想及定積分計(jì)算一些物理上的應(yīng)用問題：液體靜壓力、引力及功和平均功率。

第十一章 反常積分

1.用比較法、Cauchy法判別無窮限積分的收斂性;

2.瑕積分中瑕點(diǎn)的確定及收斂性判別;

3.收斂的反常積分的計(jì)算。

第十二章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.級(jí)數(shù)斂散性的概念及收斂級(jí)數(shù)性質(zhì)的理解和運(yùn)用;

2.用定義、性質(zhì)及收斂的必要條件判別級(jí)數(shù)的斂散性;

3.用比較法、比式法、根式法、積分法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性;

4.用萊布尼茲判別法判斷交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性;

5.用Abel及Dirichlet判別法判斷某些級(jí)數(shù)的斂散性。

第十三章 函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1.函數(shù)列或函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的概念和性質(zhì)的理解與掌握;

2.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的判別;

3.掌握一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)表示的函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可微性，并用這些性質(zhì)去解決有關(guān)問題。

第十四章 冪級(jí)數(shù)

1.求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域;

2.熟記幾個(gè)常用初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，并利用其將某些初等函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù);

3.用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)及逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分求某些冪級(jí)數(shù)的和函數(shù);

4.明確函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開的條件及求函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開式的一般步驟。

第十五章 傅里葉級(jí)數(shù)

1.熟練地將以2π為周期的函數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)，并應(yīng)用收斂定理求級(jí)數(shù)在指定點(diǎn)的和;

2.將2π為周期的函數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)，會(huì)求函數(shù)的正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù);

3.準(zhǔn)確表述收斂性定理，知道其證明主要思路。

第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1.理解平面點(diǎn)集的有關(guān)概念，求函數(shù)的定義域并繪圖表示;

2.理解并掌握二元函數(shù)極限概念，明確重極限與累次極限的關(guān)系，能借助累次極限解決極限有關(guān)問題;說明二元函數(shù)極限不存在的常用方法的應(yīng)用;

3.理解二元函數(shù)連續(xù)的概念，會(huì)利用連續(xù)性求初等函數(shù)的極限，掌握有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

第十七章 多元函數(shù)微分學(xué)

1.深刻理解全微分和偏導(dǎo)數(shù)的概念及聯(lián)系，用定義討論函數(shù)的可微性;

2.用定義求函數(shù)在指定點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù);

3.熟練運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計(jì)算各階偏導(dǎo)數(shù);

4.函數(shù)的可微、連續(xù)、偏導(dǎo)存在與偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)之間關(guān)系;

5.求空間曲線的切線和法平面;曲面的切平面和法線;

6.能寫出簡(jiǎn)單二元函數(shù)的Taylor公式或Maclaurin公式;

7.求二元函數(shù)的極值及一些簡(jiǎn)單的最大(小)值應(yīng)用問題。

第十八章 隱函數(shù)定理及應(yīng)用

1.求隱函數(shù)及隱函數(shù)組的導(dǎo)數(shù);

2.明確隱函數(shù)及隱函數(shù)組存在唯一性及可微性條件;

3.隱函數(shù)理論在幾何上的應(yīng)用，求曲線切線、法線(法平面)、求曲面的切平面和法線;

4.用Lagrange乘數(shù)法求條件極值。

第十九章 含參量積分

1.分析、論證含參量積分定義的函數(shù)的連續(xù)性，可微性或可積性;

2.判別含參量反常積分一致收斂性;

3.用對(duì)參量的積分、微分、極限等運(yùn)算求定積分或反常積分;

4.Γ函數(shù)及B函數(shù)的定義、關(guān)系及遞推公式的應(yīng)用。

第二十章 曲線積分

1.熟練運(yùn)用兩類曲線積分的計(jì)算法求曲線積分;

2.用曲線積分的幾何意義及物理意義解決有關(guān)應(yīng)用問題。

第二十一章 重積分

1.直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分及二次積分交換順序;

2.利用變量替換公式簡(jiǎn)化二重積分計(jì)算，特別是利用極坐標(biāo)變換計(jì)算二重積分;

3.應(yīng)用Green公式計(jì)算第二型曲線積分，及用第二型曲線積分計(jì)算平面圖形面積;用曲線積分法求全微分式的原函數(shù);

4.化三重積分為累次積分，用柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分;

5.應(yīng)用重積分計(jì)算曲面面積，重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及引力等幾何和物理量。

第二十二章 曲面積分

1.第一、二型曲面積分的計(jì)算;

2.應(yīng)用Gauss公式和stokes公式計(jì)算曲面積分及空間曲線積分;

3.應(yīng)用曲面積分解決有關(guān)幾何及物理應(yīng)用問題;

4.空間曲線積分與路線無關(guān)的條件，用曲線積分法求全微分式的原函數(shù)。

III 主要參考書

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編, 數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)),高等教育出版社

[2]陳紀(jì)修,於崇華,金路編,數(shù)學(xué)分析(上、下冊(cè)), 高等教育出版

[3]裴禮文編,數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法,高等教育出版社